L’équation réduite de la tangente à une courbe repose sur une formule unique : y = f'(a)(x – a) + f(a). Trois données suffisent : l’abscisse du point de tangence, la valeur de la fonction en ce point et le nombre dérivé. Nous allons traiter des exercices types qui couvrent le calcul algébrique classique, la lecture graphique pure (sans expression de la fonction) et les cas où seule une approximation numérique est disponible.
Tangente par lecture graphique sans expression analytique de la fonction
La plupart des exercices de Première supposent que l’expression de f est donnée. En situation d’examen ou de travaux pratiques, il arrive que seul le graphique soit fourni, sans formule explicite. La méthode reste pourtant rigoureuse.
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On identifie d’abord le point de tangence A(a ; f(a)) directement sur le quadrillage. Ensuite, on lit un second point B appartenant à la droite tangente déjà tracée (pas à la courbe). La pente se calcule comme pour n’importe quelle droite :
m = (yB – yA) / (xB – xA)
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Ce coefficient directeur correspond à f'(a). Il ne reste qu’à injecter dans la formule de la tangente.
Exercice corrigé : tangente tracée, fonction inconnue
Soit une courbe représentative dans un repère orthonormal. La tangente T au point d’abscisse 1 est tracée. On lit sur le graphique que T passe par les points (1 ; 3) et (3 ; 7).
Pente de T : m = (7 – 3) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2. Donc f'(1) = 2 et f(1) = 3.
Équation réduite : y = 2(x – 1) + 3, soit y = 2x + 1.
L’erreur fréquente consiste à choisir un point sur la courbe plutôt que sur la droite tangente. Sur un graphique imparfait (tracé à la main, échelle non graduée finement), nous recommandons de sélectionner deux points de la tangente aussi éloignés que possible pour limiter l’imprécision de lecture.
Équation réduite tangente par le calcul : exercice type première
Soit f(x) = x² + 3x – 1. On cherche l’équation de la tangente au point d’abscisse a = -1.
Étape 1 : calcul de f(a)
f(-1) = (-1)² + 3(-1) – 1 = 1 – 3 – 1 = -3. Le point de tangence est (-1 ; -3).
Étape 2 : calcul de f'(x) puis f'(a)
f'(x) = 2x + 3. Donc f'(-1) = 2(-1) + 3 = 1.
Étape 3 : écriture de l’équation réduite
y = f'(-1)(x – (-1)) + f(-1) = 1(x + 1) + (-3) = x + 1 – 3.
Équation réduite : y = x – 2.
Vérification rapide : au point d’abscisse -1, la tangente donne y = -1 – 2 = -3 = f(-1). Cohérent. La pente vaut 1, ce qui correspond au nombre dérivé calculé.
Piège classique : confusion entre f(a) et f'(a) dans la formule
Nous observons régulièrement la même erreur dans les copies : l’élève écrit y = f(a)(x – a) + f'(a), inversant les rôles du nombre dérivé et de l’image. Pour éviter cette confusion, une lecture sémantique de la formule aide davantage que la mémorisation brute.
- f'(a) multiplie (x – a) : c’est le coefficient directeur, la pente. Il agit sur la variable x.
- f(a) s’additionne à la fin : c’est l’ordonnée du point de tangence, un décalage vertical fixe.
- Le terme (x – a) assure que la droite passe bien par le point d’abscisse a : quand x = a, il reste uniquement f(a).
Un test systématique consiste à remplacer x par a dans l’équation obtenue. Si le résultat diffère de f(a), il y a une erreur quelque part.
Tangente à partir d’une approximation numérique du nombre dérivé
Quand la dérivée formelle n’est pas accessible (fonction définie par un algorithme, un tableur ou des mesures expérimentales), on approche f'(a) par un taux de variation sur un intervalle petit :
f'(a) ≈ (f(a + h) – f(a)) / h, avec h aussi petit que possible.
Exercice : données numériques issues d’un tableur
Un tableur fournit les valeurs suivantes pour une fonction f : f(2) = 5,00 ; f(2,01) = 5,04 ; f(2,001) = 5,004.
Taux de variation entre 2 et 2,01 : (5,04 – 5,00) / 0,01 = 4. Entre 2 et 2,001 : (5,004 – 5,00) / 0,001 = 4. Les deux approximations convergent vers la même valeur.
On retient f'(2) ≈ 4. D’où la tangente : y = 4(x – 2) + 5, soit y = 4x – 3.
La fiabilité de cette méthode dépend directement de la précision des valeurs fournies. Un arrondi excessif dans le tableur peut fausser la pente. Avec des données arrondies à l’unité, le taux de variation sur un pas de 0,01 devient inutilisable. Il faut alors élargir l’intervalle ou demander des valeurs plus précises.
Rédiger proprement l’équation de la tangente en examen
La rédaction attendue en épreuve de Première suit un schéma en trois temps que les correcteurs vérifient systématiquement :
- Énoncer la formule générale : « L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est y = f'(a)(x – a) + f(a). »
- Remplacer par les valeurs calculées, sans sauter d’étape intermédiaire. Écrire f'(a) = … et f(a) = … avant de substituer.
- Réduire l’expression pour obtenir la forme y = mx + p. Cette forme réduite est celle attendue par l’énoncé dans la quasi-totalité des sujets.
Omettre la forme réduite finale coûte souvent un demi-point, même si le raisonnement est correct. À l’inverse, sauter le détail du calcul de f'(a) pour écrire directement la réponse fait perdre la majorité des points sur une question de ce type.
Dernier point à garder en tête : quand l’énoncé demande « l’équation réduite », la réponse attendue est strictement de la forme y = mx + p. Écrire y – f(a) = f'(a)(x – a) sans réduire ne répond pas à la consigne, même si c’est mathématiquement équivalent.
